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已知函數f(x)=px3+qx+k是定義在R上的奇函數，且f(1)=-1是函數f(x)的極值．

(Ⅰ)求函數f(x)的表達式；

(Ⅱ)在y=f(x)的曲線上是否存在不同的兩個整點M、N，使得過M點的切線與過N點的切線平行，且它們與直線刪的夾角為45°．若存在，求出M、N的坐標；若不存在，請說明理由．

解：(Ⅰ)∵f(x)是定義在R上的奇函數.

∴f(0)=0  k=0 

又f′(x)=3px2+q  且f(1)=-1是函數的極值.

∴即解之得 

∴f（x）= 

(Ⅱ)設M(x1，y1)，N（x2，y2）.(x1≠x2)

∵f′(x)=

∴過M、N的切線斜率分別為

k1=
由題意知kl=k2  ∴

但x1≠x2  ∴x1=-x2，從而y1=-y2

直線MN的斜率k3=

∵過M的直線與MN夾角為45°

∴

化簡得或

由得△＜0  ∴方程無解

由+13=0得或.

∴x1=±1或x1=±  (舍去)

∴M(1，-1)，N(-1，1)或M(-1，1)，N(1，-1).

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
-x3+x2+bx+c
 ，(x＜1)
alnx
 ，(x≥1)
的圖象過坐標原點O，且在點（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5．
（1）試確定實數b，c的值，并求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值；
（2）對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=lnx，g(x)=
1
2
ax2+bx(a≠0)，h(x)=
2(x-1)
x+1

（1）當a=-2時，函數F（x）=f（x）-g（x）在其定義域范圍是增函數，求實數b的取值范圍；
（2）當x＞1時，證明f（x）＞h（x）成立；
（3）記函數f（x）與g（x）的圖象分別是C1、C2，C1、C2相交于不同的兩點P，Q，過線段PQ的中點R作垂直于x軸的垂線，與C1、C2分別交于M、N，問是否存在點R，使得曲線C1在M處的切線與曲線C2在N處的切線平行？若存在，試求出R點的坐標；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x+
tx
(x＞0)，過點P（1，0）作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N．
（1）當t=2時，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）設|MN|=g（t），試求函數g（t）的表達式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標原點）．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，n≥2令an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．
（3）對于給定的實數a（a＞1）是否存在這樣的數列{an}，使得f(an)=log3(
3
an+1)，且a1=
1
a-1
？若存在，求出a滿足的條件；若不存在，請說明理由．

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