Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)依次構(gòu)成一個(gè)公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且從第5項(xiàng)起依次構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，若a₁=-3，a₇=4．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求使S_n＞2016成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ），設(shè)前6項(xiàng)的公差為d（d∈Z），根據(jù)題意得到關(guān)于d的方程，求出d的值，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）當(dāng)n≥5，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，由此可得結(jié)論．

解答 解：（I）設(shè)前6項(xiàng)的公差為d（d∈Z），
依題意得${a_6}^2={a_5}{a_7}$即${（{a_1}+5d）^2}=（{a_1}+4d）•{a_7}$，將a₁=-3，a₇=4代入化簡(jiǎn)得：25d²-46d+21=0⇒d=1（$d=\frac{21}{25}$舍去）…（4分）
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n-4，1≤n≤4，n∈{N}^{+}}\\{{2}^{n-5}，n≥5，n∈{N}^{+}}\end{array}\right.$，（6分）
（注：答案有多種形式，合理則相應(yīng)給分）
（Ⅱ）依題意得：當(dāng)n≤4時(shí)，S_n＞2016顯然不成立，
當(dāng)n≥5
∴${S_n}=-6+{2^{n-4}}-1={2^{n-4}}-7$，…（9分）
∴2^n-4-7＞2016，且n∈N₊解得n≥15，…（11分）
故最小正整數(shù)n的值為15．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．