Question

1．求下列函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)區(qū)間．
（1）f（x）=3${\;}^{\sqrt{{x}^{2}-5x+4}}$；
（2）f（x）=4^x-2^x+1-5．

Answer 1

分析 （1）分別求出函數(shù)f（x）=3${\;}^{\sqrt{{x}^{2}-5x+4}}$的定義域、值域和單調(diào)增、減區(qū)間；
（2）分別求出函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1-5的定義域、值域和單調(diào)增、減區(qū)間．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=3${\;}^{\sqrt{{x}^{2}-5x+4}}$，
滿足x²-5x+4≥0，解得x≤1或x≥4，
∴f（x）的定義域是（-∞，1]∪[4，+∞）；
又$\sqrt{{x}^{2}-5x+4}$≥0，且3⁰=1，
∴f（x）的值域是[1，+∞）；
當(dāng)x≤-1時(shí)，t=x²-5x+4是單調(diào)減函數(shù)，∴f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x≥4時(shí)，t=x²-5x+4是單調(diào)增函數(shù)，∴f（x）是增函數(shù)；
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，1]，單調(diào)增區(qū)間是[4，+∞）；
（2）對(duì)于函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1-5，定義域是R；
且f（x）=4^x-2^x+1-5=（2^x）²-2•2^x-5=（2^x-1）²-6，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值-6，
∴f（x）的值域是[-6，+∞）；
當(dāng)x≥0時(shí)，t=（2^x-1）²單調(diào)遞增，∴f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x＜0時(shí)，t=（2^x-1）²單調(diào)遞減，∴f（x）是減函數(shù)，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0），單調(diào)增區(qū)間是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性問題，是中檔題．