Question

20．平面直角坐標系中，已知F（1，0），動點P（-1，t），線段PF的垂直平分線與直線y=t的交點為M，設M的軌跡為曲線?，則?的方程為y²=4x，A、B、C為曲線?上三點，當$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$時，稱△ABC為“和諧三角形”，則“和諧三角形”有無數(shù)個．

Answer 1

分析 求出線段PF的垂直平分線方程，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=t}\\{y=\frac{2}{t}x+\frac{t}{2}}\end{array}\right.$，把x，y用含有t的代數(shù)式表示，消去參數(shù)t得答案；由題意可得，F(xiàn)為△ABC的重心，然后結合構造以F為重心的三角形可以構造無數(shù)個得答案．

解答 解：∵F（1，0），P（-1，t），∴線段PF的中點為（0，$\frac{t}{2}$），
線段PF的垂直平分線方程為y=$\frac{2}{t}x+\frac{t}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=t}\\{y=\frac{2}{t}x+\frac{t}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{y=t}\\{x=\frac{{t}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，
消去t得，y²=4x；
拋物線方程為y²=4x，A、B、C為曲線?上三點，當$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$時，F(xiàn)為△ABC的重心，
用如下辦法構造△ABC，連接AF并延長至D，使FD=$\frac{1}{2}AF$，
當D在拋物線內部時，存在以D為中點的弦BC，則這樣的三角形有無數(shù)個．
故答案為：y²=4x；無數(shù)．

點評 本題考查軌跡方程的求法，拋物線的定義及問題的轉化能力，是中檔題．