Question

16．直線l過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于C點(diǎn)，已知|AF|=3，$\overrightarrow{CB}$=3$\overrightarrow{BF}$，則p=2．

Answer 1

分析 分別過(guò)A、B作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線定義將A、B到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合已知比例關(guān)系，即可得p值，進(jìn)而可得方程．

解答 解：設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為M，N，則
由于|BC|=3|BN|，則直線l的斜率為2$\sqrt{2}$，
∵|AF|=3，
∴AM=3，
故|AC|=3|AM|=9，從而|BF|=1.5，|CB|=4.5．CF=6，CA=9
故$\frac{p}{3}=\frac{6}{9}$，即p=4，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義及其應(yīng)用，拋物線的幾何性質(zhì)，過(guò)焦點(diǎn)的弦的弦長(zhǎng)關(guān)系，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬中檔題．