Question

已知橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1，直線l過點P（-2，1）交橢圓C于A、B兩點．
（1）若P是AB中點，求直線l的方程及弦AB的長；
（2）求弦AB中點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（-2，1）是AB中點，利用點差法能求出直線l的方程，利用弦長公式能求出弦AB的長．
（2）設AB的中點M（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1，利用點差法能求出弦AB中點M的軌跡方程．

解答： 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵P（-2，1）是AB中點，
∴x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1，
得

x12 8 + y12 4 =1 x22 8 + y22 4 =1

，
整理，得：-4（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴直線AB的方程：y-1=x+2，整理，得x-y+3=0．
聯(lián)立

x-y+3=0 x2 8 + y2 4 =1

，得3x²+12x+10=0，
∴x1+x2=-4，x1x2=

10

3

，
∴|AB|=

(1+1)[(-4)2-4× 10 3 ]

=

4

3

3

．
（2）設AB的中點M（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1，
得

x12 8 + y12 4 =1 x22 8 + y22 4 =1

，
整理，得：2x（x₁-x₂）+4y（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

x

2y

，
又直線AB過P（-2，1），M（x，y），
∴k=

y-1

x+2

=-

x

2y

，
整理，得x²+2y²+2x-2y=0．
當直線AB的斜率k不存在時，滿足上式，
∴弦AB中點M的軌跡方程為x²+2y²+2x-2y=0．

點評：本題考查直線方程與弦長的求法，考查弦的中點的軌跡方程的求法，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．