Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=$\frac{{2{S_n}^2}}{{2{S_n}-1}}$（n≥2），其中S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₂₀₁₆=$\frac{1}{4031}$．

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)a_n=$\frac{{2{S_n}^2}}{{2{S_n}-1}}$（n≥2）變形可知2S_nS_n-1=S_n-1-S_n，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=$\frac{{2{S_n}^2}}{{2{S_n}-1}}$（n≥2），
∴2${{S}_{n}}^{2}$=2S_na_n-a_n，
∴2${{S}_{n}}^{2}$-2S_na_n=S_n-1-S_n，即2S_nS_n-1=S_n-1-S_n，
∴2=$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$，
又∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，
∴S₂₀₁₆=$\frac{1}{1+2（2016-1）}$=$\frac{1}{4031}$，
故答案為：$\frac{1}{4031}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．