Question

8．已知點(diǎn)A（0，1），B（1，0），過線段AB上任意一點(diǎn)P作直線交以C（2，2）為圓心的圓M、N兩點(diǎn)，且|PM|=|MN|，則圓C的半徑r的最小值為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)P，N的坐標(biāo)，可得M的坐標(biāo)，代入圓的方程，可得以（2，2）為圓心，r為半徑的圓與以（4-m，4-n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點(diǎn)，由此求得⊙C的半徑r的取值范圍，即可得出結(jié)論．

解答 解：直線AB的方程為x+y-1=0，設(shè)P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．
因?yàn)辄c(diǎn)M是點(diǎn)P，N的中點(diǎn)，所以M（$\frac{m+x}{2}$，$\frac{n+y}{2}$），
又M，N都在半徑為r的圓C上，所以$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\\{（\frac{m+x}{2}-2）^{2}+（\frac{n+y}{2}-2）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\\{（x+m-4）^{2}+（y+n-4）^{2}=4{r}^{2}}\end{array}\right.$，
因?yàn)樵撽P(guān)于x，y的方程組有解，即以（2，2）為圓心，r為半徑的圓與以（4-m，4-n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點(diǎn)，所以（2r-r）²＜（2-4+m）²+（2-4+n）²＜（r+2r）²，
又m+n-1=0，
所以r²＜2m²-2m+5＜9r²對(duì)任意m∈[0，1]成立．
而f（m）=2m²-2m+5在[0，1]上的值域?yàn)閇$\frac{9}{2}$，5]，
故圓C的半徑r的最小值為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．