Question

19．已知函數(shù)$f（x）=cosx（cosx+\sqrt{3}sinx）$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）有條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，求得結(jié)論．
（Ⅱ）令$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$，求得x的范圍，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，再結(jié)合$x∈[0，\frac{π}{2}]$，得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}$$f（x）=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}）$，
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，故$T=\frac{2π}{|ω|}=\frac{2π}{2}=π$，即f（x）的最小正周期為π．
（Ⅱ）令$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
即f（x）的遞減區(qū)間為：$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]，k∈Z$．
再結(jié)合$x∈[0，\frac{π}{2}]$，由$[0，\frac{π}{2}]∩[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]$=$[\frac{π}{6}，+\frac{π}{2}]$，k∈Z，
所以f（x）的遞減區(qū)間為$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．