Question

13．已知關(guān)于x的方程log_a（x-3）+1=log_a（x+2）+log_a（x-1）有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 原方程等價(jià)為a（x-3）=（x+2）（x-1），x＞3，即有a=$\frac{（x+2）（x-1）}{x-3}$，令f（x）=$\frac{（x+2）（x-1）}{x-3}$，x＞3，即f（x）=（x-3）+$\frac{10}{x-3}$+7，運(yùn)用基本不等式即可求得a的范圍．

解答 解：log_a（x-3）+1=log_a（x+2）+log_a（x-1）即為
log_a[a（x-3）]=log_a[（x+2）（x-1）]
即有a（x-3）=（x+2）（x-1），x＞3，
即有a=$\frac{（x+2）（x-1）}{x-3}$，
令f（x）=$\frac{（x+2）（x-1）}{x-3}$，x＞3，
則f（x）=（x-3）+$\frac{10}{x-3}$+7
≥2$\sqrt{10}$+7，當(dāng)且僅當(dāng)x-3=$\frac{10}{x-3}$即x=3+$\sqrt{10}$，
f（x）取得最小值．
即a≥2$\sqrt{10}$+7．
則a的取值范圍為[2$\sqrt{10}$+7，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程有解的條件，主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．