Question

 橢圓C的中心為原點(diǎn)， 右焦點(diǎn)F（，0）， 以短軸的兩端點(diǎn)及F為頂點(diǎn)的三角形恰為等邊三角形. 

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓C內(nèi)的一點(diǎn)P（0，）作直線l交橢圓C于M、 N，求MN中點(diǎn)Q的軌跡方程；

（3）在（2）條件下，求△OMN的面積最大值. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

        ∵ 右焦點(diǎn)為F（，0）  ∴   

        又∵ △B₁FB₂為正三角形   ∴

        結(jié)合  得 ，  

        ∴ 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ………………………………… 4分

   （2）設(shè)Q（x，y），M（，），N（，）

        當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，直線l的方程為

        代入  得   

        ∴ ， ……………………  6分

        ∴   

消去k得  …………………………… 8分

又∵ k不存在時(shí)，點(diǎn)Q為（0，0）也滿足上述方程，

∴ 線段MN的中點(diǎn)Q的軌跡方程是  ………   9分

   （3）由（2）知，M（，），N（，），直線l的方程為

代入 得

∴ ，

∴

 ………………………………………………… 11分

又∵ 原點(diǎn)O到直線l的距離為

∴  ………………  12分

設(shè)

∴

∴ △OMN面積的最大值為 ………………………………………   14分