Question

已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)．

（1）求的值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

(1)

(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

（3）或

【解析】

試題分析：(1)利用函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系；(2)解決類似的問題時，函數(shù)在極值點處的導數(shù)為零，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點，再計算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得.(3)恒成立的問題關(guān)鍵是分離參數(shù)，把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.(4)若可導函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析：【解析】
（1），，

∴，又，

∴； 5分

（2）（

∴由得，

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增；

∴單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為 9分

由（2）可知，時，取極小值也是最小值，

依題意，只需，解得或 10分

考點：（1）函數(shù)的導數(shù)與極值；（2）函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性；（3）函數(shù)恒成立的問題.