Question

2．如圖，正方形ABCD與正方形ABEF構成一個$\frac{π}{3}$的二面角，將△BEF繞BE旋轉一周．在旋轉過程中，（　�。�

• A． 直線AC必與平面BEF相交
• B． 直線BF與直線CD恒成$\frac{π}{4}$角
• C． 直線BF與平面ABCD所成角的范圍是[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]
• D． 平面BEF與平面ABCD所成的二面角必不小于$\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 首先確定旋轉后的圖形為圓錐，進一步求出線面夾角的最值，然后依次進行判斷即可．

解答 解：∵正方形ABCD與正方形ABEF構成一個$\frac{π}{3}$的二面角，
∴∠CBE=$\frac{π}{3}$，將△BEF繞BE旋轉一周，則對應的軌跡是以BE為軸的圓錐，
此時∠EBF=$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{3}$，則在旋轉過程中直線AC不可能與平面BEF相交，故A錯誤，
當平面BEF和CD垂直時，此時直線BF與直線CD為角$\frac{π}{2}$，故B錯誤，
當BF旋轉到與BE，BC在一個平面時，直線BF與平面ABCD的夾角達到最大和最小值．
①最小值為：∠FBC=$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{12}$．
②由于∠FBC=$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$=$\frac{7π}{12}$，
所以最大值為：π-$\frac{7π}{12}$=$\frac{5π}{12}$．
則直線BF與平面ABCD所成角的范圍是[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，故C錯誤，
故只有D正確，
故選：D

點評 本題主要考查二面角和線面的夾角的應用，平面圖形的旋轉問題，主要考查學生的空間想象能力和對問題的應用能力．綜合性較強，難度較大．