Question

15．在直角坐標系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂：ρ=4．
（Ⅰ）求出曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）若C₁與C₂相交于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （I）曲線C₂：ρ=4，利用互化公式可得直角坐標方程．
（II）把曲線C₁的參數(shù)代入圓的方程可得：t²+3$\sqrt{3}$t-9=0，利用根與系數(shù)的關系及其|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（I）曲線C₂：ρ=4，可得直角坐標方程：x²+y²=16．
（II）把曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），代入圓的方程可得：t²+3$\sqrt{3}$t-9=0，
∴t₁+t₂=$-3\sqrt{3}$，t₁t₂=-9，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}-4×（-9）}$=3$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓相交弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．