Question

已知橢圓C的中點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于

1

2

，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)x²=8

3

y的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（2，3），Q（2，-3）在橢圓上，點(diǎn)A、B是橢圓上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠APQ=∠BPQ，試問(wèn)直線(xiàn)AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，并且b=2

3

，

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由已知條件設(shè)PA的直線(xiàn)方程為y-3=k（x-2），PB的直線(xiàn)方程為y-3=-k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知條件推導(dǎo)出x1+x2=

16k2-12

3+4k2

，x1-x2=

-48k

3+4k2

，由此能求出AB的斜率為定值．

解答： 解：（1）∵橢圓C的中點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
離心率等于

1

2

，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)x²=8

3

y的焦點(diǎn)，
∴b=2

3

，

c

a

=

1

2

，
∵a²=b²+c²，∴a=4，
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí)，PA，PB的斜率之和為0，
設(shè)直線(xiàn)PA的斜為k，則PB的斜率為-k，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)PA的直線(xiàn)方程為y-3=k（x-2），
由

y-3=k(x-2) x2 16 + y2 12 =1

，消去y并整理，得：
（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k²）-48=0，
∴x1+2=

8(2k-3)k

3+4k2

，
設(shè)PB的直線(xiàn)方程為y-3=-k（x-2），
同理，得x2+2=

-8k(-2k-3)

3+4k2

=

8k(2k+3)

3+4k2

，
∴x1+x2=

16k2-12

3+4k2

，x1-x2=

-48k

3+4k2

，
k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1-2)+3+k(x2-2)-3

x1-x2

=

k(x1+x2)-4k

x1-x2

=

1

2

，
∴AB的斜率為定值

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線(xiàn)的斜率為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．