Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AD＝BC＝2，對(duì)角線AC⊥BD于O，∠DAO＝60°，且PO⊥平面ABCD，直線PA與底面ABCD所成的角為60°，M為PD上的一點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：PD⊥AC；

(Ⅱ)求二面角A－PB－D的大小；

(Ⅲ)若DM∶MP＝k，則當(dāng)k為何值時(shí)直線PB⊥平面ACM？

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD， 　　∴DO為DP在平面ABCD內(nèi)的射影　　　　　　　　1分 　　又∵AC⊥BD， 　　∴AC⊥PD　　　　　　　　3分 　　(Ⅱ)取AB中點(diǎn)N，連結(jié)ON，PN　　　　　　　　4分 　　∵四邊形ABCD為等腰梯形， 　　∴△ABD≌△BAC， 　　∴∠ABD＝∠BAC． 　　∴OA＝OB 　　∴ON⊥AB 　　又∵PO⊥平面ABCD， 　　∴ON為PN在底面ABCD內(nèi)的射影， 　　∴PN⊥AB 　　∴∠PNO即為二面角P－AB－C的平面角　　　　　　　　7分 　　在Rt△DOA中，∠DAO＝60°，AD＝2． 　　∴AO＝1，DO＝． 　　在Rt△AOB中，ON＝　　　　　　　　8分 　　∵PO⊥平面ABCD， 　　∴OA為PA在底面ABCD內(nèi)的射影． 　　∴∠PAO為直線PA與底面ABCD所成的角， 　　∴∠PAO＝． 　　在Rt△POA中，AO＝1． 　　∴PO＝　　　　　　　　9分 　　∴在Rt△PON中，tan∠PNO＝． 　　∴二面角P－AB－C的大小為arctan　　　　　　　　10分 　　方法二： 　　如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．　　　　　　　　4分 　　A(0，－1，0)，B(1，0，0)， 　　P(0，0，)，O(0，0，0)．　　　　　　　　5分 　　，，．　　　　　　　　6分 　　∵PO⊥平面ABCD， 　　∴為平面ABCD的法向量．　　　　　　　　7分 　　設(shè)為平面PAB的法向量， 　　則∴ 　　∴令，則　　　　　　　　9分 　　， 　　∴二面角P－AB－C的大小為arccos　　　　　　　　10分 　　(Ⅲ)連結(jié)MO． 　　當(dāng)DM：MP＝時(shí)，直線PB//平面ACM．　　　　　　　　11分 　　∵AO＝1，BO＝AO＝1，DO＝． 　　∴DO：OB＝， 　　又∵DM：MP＝， 　　∴在△BDP中，MO∥PB．　　　　　　　　12分 　　又∵M(jìn)O平面MAC，PB平面ACM， 　　∴PB∥平面ACM．　　　　　　　　14分