Question

．（本小題滿分14分）
已知橢圓的左焦點為,離心率e=,M、N是橢圓上的動
點。
（Ⅰ）求橢圓標準方程；
（Ⅱ）設動點P滿足：，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在定點，
使得為定值？，若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由。
（Ⅲ）若在第一象限，且點關于原點對稱，點在軸上的射影為，連接 并延長
交橢圓于點，證明：；

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設可知：……………………………2分
故……………………………3分
故橢圓的標準方程為：……………………………4分
（Ⅱ）設，由可得：
……………………………5分
由直線OM與ON的斜率之積為可得：
 ，即……………………………6分
由①②可得：
M、N是橢圓上，故
故，即……………..8分
由橢圓定義可知存在兩個定點，使得動點P到兩定點距離和為定值;….9分；
（Ⅲ）設
由題設可知………..10分
由題設可知斜率存在且滿足………….③
…………………12分
將③代入④可得：
……⑤………….13分
點在橢圓，故
所以…………14分

略