Question

16．已知$|{\overrightarrow{AB}}|=|{\overrightarrow{AC}}|=2，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}$，平面區(qū)域D由所有滿足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（1≤λ≤a，1≤μ≤b）的點(diǎn)P構(gòu)成，其面積為8，則4a+b的最小值為（　�。�

• A． 13
• B． 12
• C． $7\sqrt{2}$
• D． $6\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出sin∠BAC=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，上平面區(qū)域D的面積S=2（a-1）×2（b-1）×sin∠BAC=2[ab-（a+b）+1]=8，得到ab-（a+b）=3，由此能求出4a+b的最小值．

解答 解：∵$|{\overrightarrow{AB}}|=|{\overrightarrow{AC}}|=2，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}$，
∴cos∠BAC=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠BAC=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)P（x，y），
∵平面區(qū)域D由所有滿足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（1≤λ≤a，1≤μ≤b）的點(diǎn)P構(gòu)成，
∴平面區(qū)域D的面積S=2（a-1）×2（b-1）×sin∠BAC=2[ab-（a+b）+1]=8，
∴ab-（a+b）=3，
∴$\frac{（a+b）^{2}}{4}-（a+b）-3≥0$，解得a+b≥6或a+b≤-2（舍），
∴ab=3+（a+b）≥9，∴4ab≥36，
4a+b$≥2\sqrt{4ab}$=12．
故4a+b的最小值為12．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量性質(zhì)的合理運(yùn)用．