Question

對于正整數(shù)a，b，存在唯一一對整數(shù)q和r，使得a=bq+r，0≤r＜b。特別地，當(dāng)r=0時，稱b能整除a，記作b|a，已知A={1，2，3，…，23}，
(1)存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），試求q，r的值；
(2)求證：不存在這樣的函數(shù)f：A→{1，2，3}，使得對任意的整數(shù)x，y∈A，若|x-y|∈{1，2，3}，則f（x）≠f（y）；
(3)若BA，card（B）=12（card（B）指集合B中的元素的個數(shù)），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，則稱B為“和諧集”。求最大的m∈A，使含m的集合A的有12個元素的任意子集為“和諧集”，并說明理由。

Answer 1

(1)解：因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120206/201202061637246821218.gif">；
(2)證明：假設(shè)存在這樣的函數(shù)f：A→{1，2，3}，
使得對任意的整數(shù)，
若，
設(shè)，
由已知a≠b，
由于，
所以。
不妨令，這里，
同理，，
因?yàn)閧1，2，3}只有三個元素，所以，
即，與已知矛盾；
因此假設(shè)不成立，
即不存在這樣的函數(shù)，
使得對任意的整數(shù)，
若。
(3)解：當(dāng)m=8時，記，
記P=C_MN，
則，
顯然對任意，不存在n≥3，使得成立，
故P是非“和諧集”，
此時；
同樣的，當(dāng)時，存在含m的集合A的有12個元素的子集為非“和諧集”，因此m≤7；
下面證明：含7的任意集合A的有12個元素的子集為“和諧集”，
設(shè)，
若1，14，21中之一為集合B的元素，顯然為“和諧集”；
現(xiàn)考慮1，14，21都不屬于集合B，
構(gòu)造集合，
，
以上每個集合中的元素都是倍數(shù)關(guān)系，
考慮的情況，也即B′中5個元素全都是B的元素，B中剩下6個元素必須從這5個集合中選取6個元素，那么至少有一個集合有兩個元素被選，即集合B中至少有兩個元素存在倍數(shù)關(guān)系；
綜上所述，含7的任意集合A的有12個元素的子集B為“和諧集”，即m的最大值為7。