Question

已知正三棱錐P-ABC，點P，A，B，C都在半徑為

3

的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則正三棱錐P-ABC的高為

 

．

Answer 1

分析：由正三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為

3

的球面上，且PA，PB，PC兩兩垂直，球直徑等于以PA，PB，PC為棱的正方體的對角線，由此可求得棱錐的側棱長與底面三角形的邊長，過P作PO⊥平面ABC，則O為△ABC的中心，求出OA，利用勾股定理求出三棱錐P-ABC的高H．

解答：解：∵PA，PB，PC兩兩垂直，
又∵三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為

3

的球面上，
∴以PA，PB，PC為棱的正方體的對角線即為球的一條直徑．
∴(2

3

)2=PA²+PB²+PC²=3PA²⇒PA=PB=PC=2，
底面正△ABC的邊長為

22+22

=2

2

，
過P作PO⊥平面ABC，則O為△ABC的中心，OA=

2

3

×

3

2

×2

2

=

2 6

3

，
三棱錐P-ABC的高H=

22-( 2 6 3 )2

=

2 3

3

．
故答案是

2 3

3

．

點評：題考查的知識點是棱錐的外接球及棱錐的結構特征，其中根據已知條件，得到棱錐的外接球直徑等于以PA，PB，PC為棱的正方體的對角線，是解答本題的關鍵．