Question

一炮彈在某處爆炸，在F₁(-5 000,0)處聽到爆炸聲的時間比在F₂(5 000,0)處晚秒，已知坐標(biāo)軸的單位長度為1米，聲速為340米/秒，爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上?并求爆炸點(diǎn)所在的曲線的參數(shù)方程.

Answer 1

解析:本題與實(shí)際生活緊密相關(guān)，主要考查學(xué)生能否將所學(xué)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際生活中來解決相關(guān)的問題，并注意曲線的普通方程與參數(shù)方程之間的關(guān)系.

解:由聲速為340米/秒可知F₁、F₂兩處與爆炸點(diǎn)的距離差為340×=6 000米.?

因此爆炸點(diǎn)在以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線上.?

因?yàn)楸�炸點(diǎn)離F₁處比F₂處更遠(yuǎn)，

所以爆炸點(diǎn)D應(yīng)在靠近F₂處的一支上.?

設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則PF₁-PF₂=6 000，?

即2a=6 000,a=3 000，而c=5 000，?

∴b²=5 000²-3 000²=4 000².?

又PF₁-PF₂=6 000＞0，?

∴x＞0.?

∴所求的雙曲線方程為=1(x＞0).?

故所求曲線的參數(shù)方程為〔θ∈(-,)〕.

點(diǎn)評:在F₁處聽到爆炸聲比F₂處晚秒，相當(dāng)于爆炸點(diǎn)離F₁的距離比F₂遠(yuǎn)6 000米，這是解應(yīng)用題的第一關(guān)——審題關(guān)；根據(jù)審題結(jié)合數(shù)學(xué)知識知爆炸點(diǎn)所在的曲線是雙曲線，這是解應(yīng)用題的第二關(guān)——文化關(guān)(用數(shù)學(xué)文化反映實(shí)際問題)；借助雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出爆炸點(diǎn)的軌跡方程是解決應(yīng)用題的第三關(guān)——數(shù)學(xué)關(guān)(用數(shù)學(xué)知識解決第二關(guān)提出的問題).