Question

表面積為2

3

的正八面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則此球的體積為

2

3

π

．

Answer 1

分析：表面積為2

3

的正八面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則其中四點(diǎn)所組成的截面在球的一個大圓面上，可得，此四點(diǎn)組成的正方形是球的大圓的一個內(nèi)接正方形，其對角線的長度即為球的直徑，由此問題歸結(jié)為求此四點(diǎn)組成的正方形的邊長，直徑是此邊長的

2

倍

解答：解：由題意表面積為2

3

的正八面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，故每個側(cè)面三角形的面積都是

3

4

且為等邊三角形，設(shè)其邊長為a，則有

1

2

×a×a×sin60°=

3

4

，解得a=1
故此四點(diǎn)組成的正方形的對角線的長為

2

，球的半徑是

2

2

所以此球的體積為

4

3

 ×π×(

2

2

)3=

2

3

π
故答案為

2

3

π

點(diǎn)評：本題考查球的表面積與體積公式，解此題的關(guān)鍵是理解“表面積為2

3

的正八面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，”這個題設(shè)條件，得出球的直直徑恰好是正八面體中間那個正方形的對角線的長度．本題考查了求的體積公式，三角形的面積公式，對幾何空間想像能力要求較高，能想像出此幾何體的立體影像．