Question

20．設函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，并在R上為增函數(shù)，當0≤θ＜$\frac{π}{2}$時，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，并且在R上為增函數(shù)，利用函數(shù)的性質，我們可將0≤θ＜$\frac{π}{2}$時，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，轉化為m＜$\frac{1}{1-sinθ}$恒成立，結合正弦型函數(shù)的性質結合分析法，我們可得$\frac{1}{1-sinθ}$在0≤θ＜$\frac{π}{2}$時的最小值，進而將恒成立問題轉化為最值問題，得到實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，并且在R上為增函數(shù)，
∴不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0可化為
f（msinθ）＞-f（1-m）
即f（msinθ）＞f（m-1）
即msinθ＞m-1
即m＜$\frac{1}{1-sinθ}$在0≤θ＜$\frac{π}{2}$時恒成立
∵0≤θ＜$\frac{π}{2}$時，1-sinθ的最大值為1，故$\frac{1}{1-sinθ}$的最小值為1
故m＜1
即實數(shù)m的取值范圍是（-∞，1）．
故答案為：（-∞，1）．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性與函數(shù)的單調性及恒成立問題，是函數(shù)圖象和性質的綜合應用，難度為中檔．