Question

9．函數(shù)f（x）=ax-$\frac{1}{x}$-（a+1）lnx，（a≥0），求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a=0，a=1，0＜a＜1，a＞1，運(yùn)用二次不等式的解法，即可得到單調(diào)區(qū)間．

解答 解：f（x）=ax-$\frac{1}{x}$-（a+1）lnx（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=a+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a+1}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≥0，f（x）遞增，
當(dāng)a＞1時(shí)，1＞$\frac{1}{a}$，當(dāng)$\frac{1}{a}$＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x＞1或0＜x＜$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，當(dāng)1＜$\frac{1}{a}$時(shí)，當(dāng)1＜x＜$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)0＜x＜1或x＞$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，1），f（x）的減區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，1），（$\frac{1}{a}$，+∞），減區(qū)間為（1，$\frac{1}{a}$）；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），（1，+∞），減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，主要考查二次不等式的解法，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．