Question

已知數(shù)列{a_n}中a₁=2，，數(shù)列{b_n}中，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)S_n是數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求；
（Ⅲ）設(shè)T_n是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：．

Answer 1

解：（Ⅰ），而　，
∴．n∈N^*
∴{b_n}是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n，，
于是=，
故有=
=6．（9分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）可知　=，
則．∴．
則 +…+=，
∴T_n=． （14分）
分析：（Ⅰ）由條件可得，再由，從而得到 ，由此證得結(jié)論
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n，于是=，用裂項(xiàng)法求出的值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知　=，求出T_n的解析式，可得T_n 的解析式，用錯(cuò)位相減法求出T_n的解析式，
從而可得要證的不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差關(guān)系的確定，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，用裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和，數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．