精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

橢圓C： $數(shù)學(xué)公式$ 的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，且△AOB的面積為 $數(shù)學(xué)公式$ ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（4，0）作與x軸不重合的直線l與C交于相異兩點(diǎn)M、N，交y軸于Q點(diǎn)，證明 $數(shù)學(xué)公式$ 為定值，并求這個定值．

（Ⅰ）解：依題意得 $\text{[math]}$ …（3分）
解得 $\text{[math]}$ ，故橢圓C的方程為 $\text{[math]}$ ． …（5分）
（Ⅱ）證明：依題意可設(shè)直線l的方程為x=ky+4…（6分）
由 $\text{[math]}$ ，消去x可得（4k²+5）y²+32ky+44=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（0，y₃），則 $\text{[math]}$ …（8分）
又由直線l的方程x=ky+4知 $\text{[math]}$
由三角形的相似比得 $\text{[math]}$
注意到y(tǒng)₁y₂＞0，
∴|y₁|+|y₂|=|y₁+y₂|
∴ $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$ 為定值 $\text{[math]}$ ． …（12分）
分析：（Ⅰ）利用橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，且△AOB的面積為 $\text{[math]}$ ，建立方程組，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，可得一元二次方程，利用韋達(dá)定理，及三角形的相似比 $\text{[math]}$ ，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，聯(lián)立方程，正確表示比值是關(guān)鍵．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•臨沂二模）

=1（a＞b＞0）如圖，已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為

，點(diǎn)A是橢圓上任一點(diǎn)，△AF₁F₂的周長為4+2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（-4，0）任作一動直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記

=λ

，若在線段MN上取一點(diǎn)R，使得

=-λ

，則當(dāng)直線l轉(zhuǎn)動時，點(diǎn)R在某一定直線上運(yùn)動，求該定直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，離心率為e. 直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F₁關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，設(shè)

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若的周長為6；寫出橢圓C的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年浙江省嘉興市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：

的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，O為原點(diǎn)．
（I）如圖①，點(diǎn)M為橢圓C上的一點(diǎn)，N是MF₁的中點(diǎn)，且NF₂丄MF₁，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離；
（II）如圖②，直線l：：y=k+m與橢圓C上相交于P，G兩點(diǎn)，若在橢圓C上存在點(diǎn)R，使OPRQ為平行四邊形，求m的取值范圍．