Question

已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點．

（Ⅰ）證明：拋物線在點處的切線與平行；

（Ⅱ）是否存在實數使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）如圖，設，，把代入得，

由韋達定理得，，

，點的坐標為．

設拋物線在點處的切線的方程為，

將代入上式得，

直線與拋物線相切，

，．

即．

（Ⅱ）假設存在實數，使，則，又是的中點，

．

由（Ⅰ）知

．

軸，．

又

       ．

，解得．

即存在，使．

解法二：（Ⅰ）如圖，設，把代入得

．由韋達定理得．

，點的坐標為．，，

拋物線在點處的切線的斜率為，．

（Ⅱ）假設存在實數，使．

由（Ⅰ）知，則

，

，，解得．

即存在，使．