Question

給出下列命題：
①若a＞b，則

1

a

＜

1

b

成立的充要條件是ab＞0；
②若不等式x²+ax-4＜0對任意x∈（-1，1）恒成立，則a的取值范圍為（-3，3）；
③數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2068，且a_n+1+a_n+n²=0（n∈N^*），則a₁₁=2013；
④設(shè)0＜x＜1，則

a2

x

+

b2

1-x

的最小值為（a+b）²
其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：對于①，將a＞b，兩邊同時乘以

1

ab

即可；
對于②，根據(jù)可以構(gòu)造二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式判斷；
對于③，根據(jù)數(shù)列的遞推公式，尋找a_n+2和a_n之間的關(guān)系，累加即可得；
對于④，利用函數(shù)求值域，或者根據(jù)基本不等式．

解答： 解：①∵a＞b，故a-b＞0，由

1

a

＜

1

b

?

1

a

-

1

b

＜0?

b-a

ab

＜0?ab＞0．①是正確的；
②要使x²+ax-4＜0對任意x∈（-1，1）恒成立，
令f（x）=x²+ax-4，只要

f(-1)≤0 f(1)≤0

，即

1-a-4≤0 1+a-4≤0

，得a的范圍是[-3，3]，②是不正確的；
③∵a_n+1+a_n+n²=0①，用n+1代替n，得a_n+2+a_n+1+（n+1）²=0②，
兩式相減，得a_n+2-a_n=-2n-1，
∴a₃-a₁=-2×1-1①
a₅-a₃=-2×3-1②
…
a₁₁-a₉=-2×9-1⑤，
將以上五個等式相累加，得a₁₁-a₁=-2（1+3+5+7+9）-5
又a₁=2068，
∴a_11=2013，故③是正確的．
④，0＜x＜1⇒0＜1-x＜1，
又x+（1-x）=1，
∴

a2

x

+

b2

1-x

=(

a2

x

+

b2

1-x

)[（x+（1-x）]
=a2+b2+a2•

1-x

x

+b2•

x

1-x

≥a2+b2+2

a2b2• 1-x x • x 1-x

=（a+b）²，當(dāng)且僅當(dāng)a2•

1-x

x

=b2•

x

1-x

，即x=

a

a+b

時取等號，
∴

a2

x

+

b2

1-x

的最小值是（a+b）²，即結(jié)論④正確；
故答案為：①③④．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷，考查了不等式的性質(zhì)和不等式的應(yīng)用，以及遞推數(shù)列求數(shù)列的項的知識；利用不等式的性質(zhì)解題，不等式成立的條件是關(guān)鍵，尤其是等號取得的條件，屬于難題．