Question

【題目】如圖，M是正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，給出下列命題
①過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B1C1都相交；
②過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B1C1都垂直；
③過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B1C1都相交；
④過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B1C1都平行．
其中真命題是（ ）

A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③

Answer 1

【答案】C
【解析】解：直線AB與B1C1 是兩條互相垂直的異面直線，點(diǎn)M不在這兩異面直線中的任何一條上，如圖所示：
取C1C的中點(diǎn)N，則MN∥AB，且 MN=AB，設(shè)BN 與B1C1交于H，則點(diǎn) A、B、M、N、H 共面，
直線HM必與AB直線相交于某點(diǎn)O．

所以，過M點(diǎn)有且只有一條直線HO與直線AB、B1C1都相交；故①正確．
過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B1C1都垂直，此垂線就是棱DD1 ， 故②正確．
過M點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與直線AB、B1C1都相交，故 ③不正確．
過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B1C1都平行，此平面就是過M點(diǎn)與正方體的上下底都平行的平面，故④正確．
綜上，①②④正確，③不正確，
故選 C．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解直線與平面平行的性質(zhì)(一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行)，還要掌握平面與平面垂直的性質(zhì)(兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．