Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=3，a_n=2S_n+1+3ⁿ（n∈N^*，n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{

Sn

3n

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令b_n=

2n2-5n-3

an

，如果對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+

2

9

t＜t²成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）再寫一式，兩式相減，即可證明數(shù)列{

Sn

3n

}是等差數(shù)列；
（2）先求出S_n=n•3ⁿ，再求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）確定對(duì)任意n∈N^*，都有b_n≤

1

27

，對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+

2

9

t＜t²，轉(zhuǎn)化為

1

27

≤t²-

2

9

t，即可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵a₁=3，a_n=2S_n+1+3ⁿ（n∈N^*，n≥2），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，∴S_n-3S_n-1=3ⁿ，
∴

Sn

3n

-

Sn-1

3n-1

=1，
∴數(shù)列{

Sn

3n

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）得

Sn

3n

=n，
∴S_n=n•3ⁿ，
∴n≥2時(shí)，a_n=（2n+1）•3^n-1，
n=1時(shí)也成立，
∴a_n=（2n+1）•3^n-1；
（3）b_n=

2n2-5n-3

an

=

n-3

3n-1

，
∴b_n+1-b_n=

-2n+7

2n

，
∴n=1，2，3時(shí)，b_n+1＞b_n，n≥4時(shí)，b_n+1＜b_n，
∴對(duì)任意n∈N^*，都有b_n≤

1

27

，
∵對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+

2

9

t＜t²，即b_n＜t²-

2

9

t成立，
∴

1

27

＜t²-

2

9

t，
解得t＞

1

3

或t＜-

1

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．