Question

18．如圖，是某幾何體的三視圖和直觀圖，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，點(diǎn)P在棱BC上，且AP∥平面CDE．
（Ⅰ）求點(diǎn)P到平面CDE的距離；
（Ⅱ）求二面角A-CD-E的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BE為y軸，BC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)P到平面CDE的距離．
（Ⅱ）求出平面ACD的法向量和平面CDE的法向量，利用向量法能求出二面角A-CD-E的大小．

解答 解：（Ⅰ）由幾何體的三視圖和直觀圖得到BC⊥平面ABED，ABED是直角梯形，AD∥BE，AB⊥BE
AB=AD=EF=4，BE=CF=8，
以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BE為y軸，BC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（4，0，0），C（0，0，4），D（4，4，0），E（0，8，0），設(shè)P（0，0，t），0≤t≤4，
則$\overrightarrow{AP}$=（-4，0，t），$\overrightarrow{CD}$=（4，4，-4），$\overrightarrow{CE}$=（0，8，-4），
設(shè)平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=4x+4y-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=8y-4z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∵AP∥平面CDE，∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}$=-4+2t=0，解得t=2，
∴P（0，0，2），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，-2），
∴點(diǎn)P到平面CDE的距離d=$\frac{|\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅱ）$\overrightarrow{CA}$=（4，0，-4），$\overrightarrow{CD}$=（4，4，-4），$\overrightarrow{CE}$=（0，8，-4），
設(shè)平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=4x-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=4x+4y-4z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
設(shè)平面CDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=4a+4b-4c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=8b-4c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
設(shè)二面角A-CD-E的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=30°，
∴二面角A-CD-E的大小為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．