Question

在平面直角坐標系中，N為圓C：（x+1）²+y²=16上的一動點，點D（1，0），點M是DN的中點，點P在線段CN上，且

MP

•

DN

=0．
（Ⅰ）求動點P表示的曲線E的方程；
（Ⅱ）若曲線E與x軸的交點為A，B，當動點P與A，B不重合時，設直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據由點M是DN的中點，

MP

•

DN

=0，結合|PC|+|PN|=|CN|，可得|PC|+|PD|=4，由橢圓定義知，點P的軌跡是以C，D為焦點的橢圓，從而可求動點P表示的曲線E的方程；
（Ⅱ）分別求出k₁，k₂，利用橢圓方程，即可證明．

解答： （Ⅰ）解：由點M是DN的中點，

MP

•

DN

=0，可知PM垂直平分DN．
所以|PN|=|PD|，
又|PC|+|PN|=|CN|，所以|PC|+|PD|=4．
由橢圓定義知，點P的軌跡是以C，D為焦點的橢圓．----------------------（4分）
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
又2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．
所以動點P表示的曲線E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．----------------------（6分）
（Ⅱ）證明：易知A（-2，0），B（2，0）．
設P（x₀，y₀）（y₀≠0），則

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，即

y

2 0

=3(1-

x 2 0

4

)，
則k1=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

，----------------------（8分）
即k1•k2=

y 2 0

x 2 0 -4

=

3(1- x 2 0 4 )

x 2 0 -4

=

- 3 4 ( x 2 0 -4)

x 2 0 -4

=-

3

4

，
∴k₁•k₂為定值-

3

4

．-----------------------------------12

點評：本題考查橢圓的標準方程，橢圓的定義，斜率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．