Question

【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A、B，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為，且.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且該橢圓上存在點(diǎn)P，使得四邊形MONP（圖形上字母按此順序排列）恰好為平行四邊形，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）首先求直線(xiàn)方程，表示原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，再根據(jù)，聯(lián)立解求橢圓方程；

（2）直線(xiàn)，與橢圓方程聯(lián)立，表示 ，，

再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程求

(1) 設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，

原點(diǎn)到AB的距離為，又，

解得，

故橢圓的方程為；

（2）由（1）得橢圓的左焦點(diǎn)，

易知直線(xiàn)的斜率不為0，可設(shè)直線(xiàn)，設(shè)，

因?yàn)?/span>MOPN為平行四邊形，

得 ，

聯(lián)立，

，

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，有

所以直線(xiàn)的方程為.