Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁是以C₁（3，1）為圓心，$\sqrt{5}$為半徑的圓．以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線C₂：ρsinθ-ρcosθ=1．
（1）求曲線C₁的參數(shù)方程與直線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線C₂與曲線C₁相交于A，B兩點，求△ABC₁的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)曲線的圓心和半徑，求出曲線的參數(shù)方程即可，根據(jù)y=ρsinθ，x=ρcosθ，求出直線的參數(shù)方程即可；
（2）根據(jù)點到直線的距離求出d，求出弦長，從而求出△ABC₁的周長即可．

解答 解：（1）因為曲線C₁是以C₁（3，1）為圓心，以$\sqrt{5}$為半徑的圓，
所以曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{5}cosα}\\{y=1+\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$ （α為參數(shù)），
由直線C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得y-x=1，
即x-y+1=0．（5分）
（2）因為圓心C₁（3，1）到直線x-y+1=0的距離為d=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
所以直線C₂被曲線C₁截得的弦長|AB|=2$\sqrt{5{-d}^{2}}$=2$\sqrt{5{-（\frac{3\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
所以△ABC₁的周長為$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$．（10分）

點評 本題考查了曲線的參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程以及普通方程的轉(zhuǎn)化，是一道中檔題．