Question

4．已知函數(shù)f（x）=-x²+2x，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{x≤a}\\{g（x-1）-1}&{x＞a}\end{array}\right.$，關于x的方程g（x）=t對于任意的t＜1都恰有兩個不同的解，則實數(shù)a取值集合是{2}．

Answer 1

分析 通過當x≤a時，求出g（x，當a＜x≤a+1時，得到g（x）在（a，a+1]上的圖象，然后分析判斷交點個數(shù)．

解答 解：當x≤a時，g（x）=f（x）=-x²+2x，當a＜x≤a+1時，a-1＜x-1≤a，
g（x-1）=f（x-1），又因為g（x）=g（x-1）-1．所以g（x）=f（x-1）-1，將
y=-x²+2x向右平移1單位，在向下平移1單位，可得y=-（x-2）²，可得g（x）在（a，a+1]上的圖象，如圖所示，
注意到點（2，0）在y=-x²+2x上，要使?t＜1，g（x）=t只有兩解，當a＞2或a＜2時，g（x）=t的解的個數(shù)不等于2個，不符合題意，
所以a=2，
又因為g（2）=0，g（3）=-1，所以可以保證在其余的位置當?t＜1時，g（x）=t只有兩解．
故答案為：{2}．

點評 本題考查函數(shù)的圖象的應用，函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，考查計算能力．