Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓（）的左右兩個焦點(diǎn)分別是、，在橢圓上運(yùn)動.

（1）若對有最大值為120°，求出、的關(guān)系式；

（2）若點(diǎn)是在橢圓上位于第一象限的點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，過作直線的垂線，若直線、的交點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若設(shè)，在（2）成立的條件下，試求出、兩點(diǎn)間距離的函數(shù)，并求出的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），的值域?yàn)?/span>．

【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義可知，再利用余弦定理及基本不等式可得的關(guān)系式；

（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出直線與直線的方程，結(jié)合在橢圓上即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）把的坐標(biāo)用含有的代數(shù)式表示，由兩點(diǎn)間的距離公式可得兩點(diǎn)間距離的函數(shù)，再換元由單調(diào)性求出其值域．

（1） 根據(jù)橢圓的定義可知，，，

因?yàn)?/span>

所以

，即．

（2）設(shè)，

當(dāng)時，直線斜率不存在，易知與重合，不滿足題意；

當(dāng)時，則直線的斜率，直線的斜率，

直線的方程，①

直線的斜率，則直線的斜率，

直線的方程，②

聯(lián)立①②，解得：，則，

由在橢圓上，的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)應(yīng)相等，則，

，

則，又在第一象限，的坐標(biāo)為；

（3）若，則，，

則，．

令，則，

，在上為增函數(shù)，

的值域?yàn)?/span>，

即的值域?yàn)?/span>．