Question

（09年朝陽區(qū)二模理）（14分）

如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為邊的中點(diǎn)，與平面所成的角為，且，.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求點(diǎn)到平面的距離；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

解析： 證明：（Ⅰ）因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514170405001.gif' width=37>底面，

所以是與平面所成的角.

由已知， 所以.

易求得，，又因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514170405008.gif' width=52>，

所以， 所以.

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514170405001.gif' width=37>底面，平面,

所以.  由于，

所以平面.                             ………………………4分

解：（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，平面.又因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514170405011.gif' width=43>平面,

所以平面平面，

過作于，（如圖）則平面，

所以線段的長度為點(diǎn)到平面的距離.

在中，易求得,  所以.

所以點(diǎn)到平面的距離為.                     ………………………9分

（Ⅲ）設(shè)為中點(diǎn). 連結(jié)，由于底面，

且平面，則平面平面.

 因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514170405032.gif' width=68>，所以平面.

過作，垂足為，連結(jié)，

由三垂線定理可知，

所以是二面角的平面角.

容易證明∽，則，

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514170406043.gif' width=49>，，，

所以.

在中，因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514170406048.gif' width=85>，所以，

所以二面角的大小為.        ………………………14分

解法二:

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514170405001.gif' width=37>底面，

所以是與平面所成的角.

由已知，

所以.

建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.

由已知，為中點(diǎn).

于是、、、

、.

（Ⅰ）易求得，

， .

因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514170406062.gif' width=189>, ,

所以，.

因?yàn)?IMG height=20 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514170406065.gif' width=88>，所以平面.         ………………………4分

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，

由  得   解得，

所以.    又因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514170407071.gif' width=84>,

所以點(diǎn)到平面的距離.   …………………9分

（Ⅲ）因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514170407073.gif' width=40>平面，所以是平面的法向量， 易得.

由（Ⅱ）知平面的法向量，

所以.

所以二面角的大小為.        ………………………14分