Question

【題目】有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計），一邊長為6分米，另一邊足夠長．現從中截取矩形（如圖甲所示），再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一個底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計），其中是以為圓心、的扇形，且弧,分別與邊, 相切于點, ．

（1）當長為1分米時，求折卷成的包裝盒的容積；

（2）當的長是多少分米時，折卷成的包裝盒的容積最大？

Answer 1

【答案】（1）當長為1分米時，折卷成的包裝盒的容積為立方分米.（2）當的長為2分米時，折卷成的包裝盒的容積最大

【解析】試題分析：（1）先根據扇形面積減去三角形面積得弓形面積，即為柱體底面積，再根據柱體體積公式求體積（2）同（1）先計算底面積，再表示高，代入柱體體積公式得容積函數關系式，最后利用導數求最值

試題解析：解：（1）在圖甲中，連接交于點．設，

在中，因為，所以，則．

從而，即.

故所得柱體的底面積

.

又所得柱體的高，

所以 .

答：當長為1分米時，折卷成的包裝盒的容積為立方分米.

（2）設，則，所以所得柱體的底面積

.

又所得柱體的高，

所以 ，其中.

令，則由，

解得.

列表如下：

	＋	0	－
	增	極大值	減

所以當時， 取得最大值.

答：當的長為2分米時，折卷成的包裝盒的容積最大.