Question

1．下列命題中
①若|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$
②$\overrightarrow{a}$=（-1，1）在$\overrightarrow$=（3，4）方向上的投影為$\frac{1}{5}$
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，則$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}$=20；
④若非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|，則|2$\overrightarrow$|＞|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|．
其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①根據(jù)|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|得出$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$；
②根據(jù)投影的定義計(jì)算出$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$方向上的投影；
③根據(jù)余弦定理和數(shù)量積的定義計(jì)算$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}$的值；
④根據(jù)|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|得出|2$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|．

解答 解：對(duì)于①，|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=||$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，∴cosθ=±1，∴$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，∴①正確
對(duì)于②，$\overrightarrow{a}$=（-1，1）在$\overrightarrow$=（3，4）方向上的投影為：|$\overrightarrow{a}$|cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{-1×3+1×4}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=$\frac{1}{5}$，∴②正確；
對(duì)于③，△ABC中，a=5，b=8，c=7，則
$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}$=a×bcos＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$＞=5×8×（-$\frac{{5}^{2}{+8}^{2}{-7}^{2}}{2×5×8}$）=-20，∴③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|，則
|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|+|$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow$|=|2$\overrightarrow$|
∴|2$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|，∴④錯(cuò)誤；
綜上，正確的命題是①②，共2個(gè)數(shù)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用問題，是綜合題．