Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）若函數(shù)g（x）=f（x）+x²+ax+2有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（2）若f（x）≥k（x+1）（k∈Z）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把函數(shù)f（x）的解析式代入g（x）=f（x）+x²+ax+2，分離參數(shù)a得到-a=lnx+x+

2

x

，把函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為次方程在（0，+∞）上有實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx+x+

2

x

，求出此函數(shù)在（0，+∞）上的最小值，由-a大于函數(shù)的最小值求解a的范圍；
（2）把f（x）的解析式代入f（x）≥k（x+1），分離變量k，把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為k≤

xlnx

x+1

恒成立，由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=

xlnx

x+1

的最小值，則整數(shù)k的最大值可求．

解答： 解：（1）∵函數(shù)g（x）=f（x）+x²+ax+2有零點(diǎn)，
∴g（x）=xlnx+x²+ax+2在（0，+∞）上有實(shí)數(shù)根．
即-a=lnx+x+

2

x

在（0，+∞）上有實(shí)數(shù)根．
令h（x）=lnx+x+

2

x

，（x＞0），則h′（x）=

1

x

+1-

1

x2

=

x2+x-1

x2

．
解h′（x）＜0，得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)遞減；
解h′（x）＞0，得x＞1，此時(shí)函數(shù)遞增．
∴h（x）在x=1時(shí)取得極小值，同時(shí)也是最小值，
即最小值h（1）=3．
∴-a≥3，
解得a≤-3；
（2）f（x）≥k（x+1）（k∈Z）恒成立，則k≤

xlnx

x+1

，
令y=

xlnx

x+1

，y′=

lnx+x+1

(x+1)2

，
令m（x）=lnx+x+1，則m′（x）=

1

x

+1＞0，
∴m（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵m（e^-2）＜0，m（e^-1）＞0，
∴在(

1

e2

，

1

e

)內(nèi)存在一點(diǎn)x₀，使得m（x₀）=0．
∴當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，y′＜0，函數(shù)y=

xlnx

x+1

為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，y′＞0，函數(shù)y=

xlnx

x+1

為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=x₀時(shí)函數(shù)y=

xlnx

x+1

有最小值．
最小值為

x0lnx0

x0+1

∈(

1 e2 ln 1 e2

1 e2 +1

，

1 e ln 1 e

1 e +1

)=(-

2

1+e2

，-

1

1+e

)．
∵k≤

xlnx

x+1

，
∴k的最大值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了分離變量法、函數(shù)構(gòu)造法以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬難題．