Question

矩形的兩條對角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為，點(diǎn)在邊所在直線上．

（Ⅰ）求邊所在直線的方程；

（Ⅱ）求矩形外接圓的方程；

（Ⅲ）若動圓過點(diǎn)，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程

Answer 1

解：（Ⅰ）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為．

又因為點(diǎn)在直線上，

所以邊所在直線的方程為．

．

（Ⅱ）由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因為矩形兩條對角線的交點(diǎn)為．

所以為矩形外接圓的圓心．

又．

從而矩形外接圓的方程為．

（Ⅲ）因為動圓過點(diǎn)，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，

所以，

即．

故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實軸長為的雙曲線的左支．

因為實半軸長，半焦距．

所以虛半軸長．

從而動圓的圓心的軌跡方程為．