Question

1．已知直線l過定點(diǎn)（0，4），且與拋物線x²=4y相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：OA⊥OB；
（2）若△OAB的面積為$12\sqrt{2}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出直線l的方程，和拋物線聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的積，代入x₁x₂+y₁y₂中整理得到結(jié)果為0，所以結(jié)論得證．
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線和x軸交點(diǎn)為N，利用S_△OAB=$\frac{1}{2}$|ON|•|x₁-x₂|．求出直線的斜率，然后求出直線方程．

解答 （1）證明：由題意可知直線l的斜率存在，
設(shè)其斜率為k，則直線方程為：y=kx+4，
與拋物線方程聯(lián)立，得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{4y={x}^{2}}\end{array}\right.$，即x²-4kx-16=0，
設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以x₁x₂=-16．x₁+x₂=4k，
則y₁y₂=k²x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16=-16k²+16k²+16
可得x₁x₂+y₁y₂=0?OA⊥OB．
所以O(shè)A⊥OB．
（2）解：直線l過定點(diǎn)N（0，4），
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN
=$\frac{1}{2}$|ON||x₁|+$\frac{1}{2}$|ON||x₂|
=$\frac{1}{2}$|ON|•|x₁-x₂|，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•4•$\sqrt{（{{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=2$\sqrt{16{k}^{2}+64}$．
∵S_△OAB=$12\sqrt{2}$，
∴2$\sqrt{16{k}^{2}+64}$=12$\sqrt{2}$．解得k=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
直線l的方程：y=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x+4．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，拋物線的應(yīng)用，其中聯(lián)立方程、設(shè)而不求、韋達(dá)定理三者綜合應(yīng)用是解答此類問題最常用的方法，但在解方程組時，是消去x還是消去y，這要根據(jù)解題的思路去確定．當(dāng)然，這里消去x是最簡捷的．