Question

7．解關于x的不等式：2x²-mx+1≤0．

Answer 1

分析 先求△的值，再分△＞0，△=0和△＜0，求出對應方程的實數根，寫出不等式的解集即可．

解答 解：∵關于x的不等式為2x²-mx+1≤0，
∴△=m²-4×2×1=m²-8；
令△=0，解得m=±2$\sqrt{2}$；
 ①當△＞0，即m＞2$\sqrt{2}$或m＜-2$\sqrt{2}$時，
方程2x²-mx+1=0有二不等實數根：x₁=$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-8}}{4}$，x₂=$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-8}}{4}$，且x₁＜x₂；
∴原不等式的解集為{x|$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-8}}{4}$≤x≤$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-8}}{4}$}；
②當△=0，即m=±2$\sqrt{2}$時，方程2x²-mx+1=0有二等實數根：x₁=x₂=$\frac{m}{4}$；
∴原不等式的解集為{x|x=$\frac{m}{4}$}；
③當△＜0，即-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$時，
方程2x²-mx+1=0無實數根．∴原不等式的解集為∅；
綜上，當m＞2$\sqrt{2}$或m＜-2$\sqrt{2}$時，不等式的解集為{x|$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-8}}{4}$≤x≤$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-8}}{4}$}；
當m=±2$\sqrt{2}$時，不等式的解集為{x|x=$\frac{m}{4}$}；
當-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$時，不等式的解集為∅．

點評 本題考查了含有字母系數的一元二次不等式的解法與應用問題，解題時應用分類討論的思想方法，注意分類時要不重不漏，是基礎題目．