Question

18．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a_n=（-1）ⁿ（2n-1）．
（1）求S₁，S₂，S₃；
（2）猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）將n分別取1，2，3，求S₁，S₂，S₃；
（2）關(guān)鍵（1）中規(guī)律猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）S₁=a₁=-1，S₂=a₁+a₂=-1+3=2，S₃=a₁+a₂+a₃=-1+3-5=-3 …（3分）
（2）猜想${S}_{n}=（-1）^{n}n$，（n∈N⁺）…（5分）
證明：①n=1時(shí)，左邊S₁=-1，右邊（-1）¹×1=-1，猜想成立…（6分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N⁺）時(shí)猜想成立，即S_k=（-1）^kk…（7分）
S_k+1=S_k+a_k+1=（-1）^kk+（-′1）^k+1[2（k+1）-1]…（8分）
=（-1）^k+1[（2k+1）-k]=（-1）^k+1（k+1）…（10分）
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立…（11分）
由①②可知，猜想對(duì)任何n∈N⁺都成立…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法；關(guān)鍵是利用假設(shè)推導(dǎo)n=k+1時(shí)猜測(cè)成立．