Question

15．如圖是函數(shù)f（x）=x²+ax-b的部分圖象，函數(shù)g（x）=e^x-f′（x）的零點所在的區(qū)間是（k，k+1）（k∈Z），則k的值為（　　）

• A． -1或0
• B． 0
• C． -1或1
• D． 0或1

Answer 1

分析 由f（x）=x²+ax-b的圖象可得1＜a=1-b＜2，求導f′（x）=2x+a，從而化簡g（x）=e^x-f′（x）=e^x-2x-a，求導g′（x）=e^x-2，從而確定g（x）的單調(diào)性，再利用零點的判定定理解得．

解答 解：∵f（x）=x²+ax-b的圖象過點（-1，0），
∴1-a-b=0；即a=1-b；
∵0＜f（0）＜1，
∴0＜-b＜1，即-1＜b＜0，
∴1＜a=1-b＜2，
而f′（x）=2x+a，
故g（x）=e^x-f′（x）=e^x-2x-a，
∵g′（x）=e^x-2，
∴g（x）在（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增；
而g（ln2）=2-2ln2-a＜0，
g（-1）=$\frac{1}{e}$+2-a＞0，g（0）=1-a＜0，
故g（x）在區(qū)間（-1，0）上有零點；
g（1）=e-2-a＜0，g（2）=e²-4-a＞0，
故g（x）在區(qū)間（1，2）上有零點；
結(jié)合所述，k的值為-1或1；
故選C．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應用及導數(shù)的綜合應用，同時考查了零點的判定定理的基本應用．