Question

設(shè)函數(shù)f（x）是連續(xù)函數(shù)，且在x=1處存在導(dǎo)數(shù)．如函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）•lnx=x-

f(x)

x

，則函數(shù)f（x）（　　）

• A、既有極大值，又有極小值
• B、有極大值，無極小值
• C、有極小值，無極大值
• D、既沒有極大值，又沒有極小值

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由f′（x）•lnx=x-

f(x)

x

，由于（f（x）lnx）′=f′(x)lnx+

f(x)

x

，可得f（x）=

1，x=1 x2-1 2lnx ，x＞0且x≠1

，當(dāng)x≠1時，f′（x）=

2x2lnx-(x2-1)

2xln2x

．令g（x）=2x²lnx-x²+1，可得g′（x）=4xlnx．利用其單調(diào)性可得：當(dāng)x=1時，g（x）取得極小值即最小值，g（1）=0．進(jìn)而得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：由f′（x）•lnx=x-

f(x)

x

，∵（f（x）lnx）′=f′(x)lnx+

f(x)

x

，
∴（f（x）lnx）′=x，
∴f（x）lnx=

1

2

x2+c，（*）
∵函數(shù)f（x）是連續(xù)函數(shù)，
∴由f′（x）•lnx=x-

f(x)

x

，可得f（1）=1，
代入（*），可得c=-

1

2

．
∴f（x）=

1，x=1 x2-1 2lnx ，x＞0且x≠1

，
當(dāng)x≠1時，f′（x）=

2x2lnx-(x2-1)

2xln2x

．
令g（x）=2x²lnx-x²+1，∴g′（x）=4xlnx．
當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減法．
∴當(dāng)x=1時，g（x）取得極小值即最小值，g（1）=0．
∴f′（x）＞0（x≠1），且在x=1處存在導(dǎo)數(shù)f′（1）=0．
∴函數(shù)f（x）在x＞0時單調(diào)遞增．
∴f（x）既沒有極大值，又沒有最小值．
故選：D．

點評：本題考查了構(gòu)造函數(shù)法利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的解析式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．