Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，其焦距為，點(diǎn)在橢圓上，，直線的斜率為（為半焦距）·

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)圓的切線交橢圓于兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：；

（3）在（2）的條件下，求的最大值

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）由題意知 ,，解得 即可．

（2）（i）當(dāng)切線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，滿足，（ii）當(dāng)切線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)圓的切線為y＝kx+m，得，A（x1，y1），B（x2，y2），利用，即可證明．

（3 ）當(dāng)切線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)|OA||OB|＝4，當(dāng)切線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，由（2）知，且，即可得OA||OB|的最大值．

（1）連接，由題意知 ，

設(shè)

即 解得 ,

橢圓的方程為 .

（2）（i）當(dāng)切線與坐標(biāo)軸垂直時(shí),交點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足.

(ii)當(dāng)切線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)切線為

由圓心到直線距離為

聯(lián)立橢圓方程得 恒成立，設(shè)

滿足 .

（3 ）當(dāng)切線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)

當(dāng)切線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí),由（2）知

.

令

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

綜上所述，的最大值為