Question

9．如圖1，已知在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E為CD的中點，沿AE將△AED折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如圖2，F(xiàn)是DE的中點，H是AB上的一點，滿足AH=3HB．
（1）求證：FH∥平面DBC；
（2）求二面角B-CE-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取EC的中點G，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明平面FGH∥平面DBC，即可證明FH∥平面DBC；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-CE-D的正弦值．

解答 證明：（1）取AB的中點M，EC的中點G，連接FG，F(xiàn)H，GH，
∵AH=3HB．
∴H是BM的中點，
∵F是DE的中點，
∴FG∥DC，GH∥BC，
∵DC∩BC=C，
∴平面FGH∥平面DBC，
由FH?平面FGH，
∴FH∥平面DBC；
（2）取AE的中點N，連接DN，
∵平面ADE⊥平面ABCE，△ADE是等腰三角形，
∴DN⊥AE，
以E為坐標(biāo)原點，以EA，EC，分別為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，0），A（2，-2，0），N（1，-1，0），D（1，-1，$\sqrt{2}$），
則平面BCE的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面CED的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{EC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{ED}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{x-y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則y=0，x=-$\sqrt{2}$，
即$\overrightarrow{n}$=（=-$\sqrt{2}$，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{（-\sqrt{2}）^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
即二面角B-CE-D的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本小題主要考查直線與平面垂直的性質(zhì)，以及幾二面角的度量等基礎(chǔ)知識，考查利用空間向量的方程解決問題的能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．