Question

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.
（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當時，試確定函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）的單調減區(qū)間為；單調增區(qū)間為；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）求導得，，因為，所以的解集為，即單調遞增區(qū)間；的解集為，即單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)，令，得，顯然是一個零點，記，求導得，易知時遞減；時遞增，故的最小值，又，故，即，所以函數(shù)的零點個數(shù)1個.
試題解析：（Ⅰ）解：因為，，所以．
令，得．當變化時，和的變化情況如下：

	↘		↗

故的單調減區(qū)間為；單調增區(qū)間為．
（Ⅱ）解：結論：函數(shù)有且僅有一個零點. 理由如下：
由，得方程， 顯然為此方程的一個實數(shù)解. 
所以是函數(shù)的一個零點. 當時，方程可化簡為.設函數(shù)，則，令，得．
當變化時，和的變化情況如下：

	↘		↗

即的單調增區(qū)間為；單調減區(qū)間為．所以的最小值.                 
因為 ，所以，所以對于任意，，因此方程無實數(shù)解．所以當時，函數(shù)不存在零點.綜上，函數(shù)有且僅有一個零點.                       考點：