Question

9．已知圓C₁：（x+2）²+y²=$\frac{81}{16}$，圓C₂：（x-2）²+y²=$\frac{1}{16}$，動(dòng)圓Q與圓C₁、圓C₂均外切．求動(dòng)圓圓心Q的軌跡為曲線(xiàn)C；
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（m，0），點(diǎn)Q為曲線(xiàn)C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，
①若m＜0，寫(xiě)出直線(xiàn)MQ傾斜角的取值范圍；
②證明：?整數(shù)λ，負(fù)數(shù)m，使得∠QC₂M=λ∠QMC₂．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圓的方程便可得到圓的圓心和半徑，再由兩圓外切時(shí)圓心距離和半徑的關(guān)系即可得到|QC₁|-|QC₂|=2，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義即可知道圓心Q的軌跡是雙曲線(xiàn)，并且可寫(xiě)出方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）①求出曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)的傾斜角，并畫(huà)出雙曲線(xiàn)C及它的漸近線(xiàn)，根據(jù)圖形即可得出QM傾斜角的范圍；
②可設(shè)Q（x₀，y₀），當(dāng)讓y₀趨向正無(wú)窮時(shí)，∠QC₂M趨向$\frac{2π}{3}$，而∠QMC₂趨向$\frac{π}{3}$，這樣就可求得λ=2，再由x₀=2時(shí)，可得到m=-1，然后證明存在λ=2，m=-1使得∠QC₂M=2∠QMC₂．需分x₀≠2，x₀=2兩種情況：x₀≠2時(shí)，根據(jù)直線(xiàn)的斜率公式分別求出tan∠QC₂M，tan∠QMC₂，二倍角公式求出tan2∠QMC₂，便可得到∠QC₂M=2∠QMC₂；x₀=2時(shí)，該結(jié)論更易得到，這便完成了證明過(guò)程．

解答 解：（Ⅰ）圓C₁的圓心C₁（-2，0），半徑R₁=$\frac{9}{4}$，圓C₂的圓心C₂（2，0），半徑${R}_{2}=\frac{1}{4}$；
設(shè)動(dòng)圓Q半徑為r，則：|QC₁|=$\frac{9}{4}+r$，$|Q{C}_{2}|=\frac{1}{4}+r$；
∴|QC₁|-|QC₂|=2；
∴點(diǎn)Q的軌跡是以C₁（-2，0），C₂（2，0）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線(xiàn)的右支；
∴動(dòng)圓圓心Q的軌跡方程是${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1（x≥1）$；
（Ⅱ）①y=$\sqrt{3}x$是曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)，該漸近線(xiàn)的傾斜角為$\frac{π}{3}$，如圖所示：

由圖可以看出QM的傾斜角從0開(kāi)始，當(dāng)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)增大時(shí)，QM的傾斜角增加，當(dāng)橫坐標(biāo)趨向正無(wú)窮大時(shí)，QM更接近漸近線(xiàn)，所以QM的傾斜角小于$\frac{π}{3}$；
∴QM的傾斜角的范圍為（0，$\frac{π}{3}$）；
②設(shè)Q（x₀，y₀），（x₀≥1，y₀＞0）；
當(dāng)y₀→+∞時(shí)，∠QC₂M→$\frac{2π}{3}$，∠QMC₂→$\frac{π}{3}$；
∴λ=2；
當(dāng)x₀=2時(shí)，∠QC₂M=90°，∠QMC₂=45°；
∴m=-1；
以下證明：當(dāng)λ=2，m=-1時(shí)，恒有∠QC₂M=2∠QMC₂：
證明：∵Q在曲線(xiàn)C上，∴${{y}_{0}}^{2}=3{{x}_{0}}^{2}-3$；
當(dāng)x₀≠2時(shí)，$tan∠Q{C}_{2}M=-{k}_{Q{C}_{2}}$=$-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，$tan∠QM{C}_{2}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$；
tan2∠QMC₂=$\frac{2•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}}{1-（\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}）^{2}}$=$\frac{2{y}_{0}（{x}_{0}+1）}{（{{x}_{0}+1）}^{2}-（3{{x}_{0}}^{2}-3）}$=$\frac{{y}_{0}（{x}_{0}+1）}{-{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}+2}=-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$；
∴tan∠QC₂M=tan2∠QMC₂；
又2∠QMC₂，∠QC₂M$∈（0，\frac{2π}{3}）$；
∴∠QC₂M=2∠QMC₂；
當(dāng)x₀=2時(shí)，$∠Q{C}_{2}M=\frac{π}{2}$，$∠QM{C}_{2}=\frac{π}{4}$，滿(mǎn)足∠QC₂M=2∠QMC₂；
∴?λ=2，m=-1，使得∠QC₂M=λ∠QMC₂．

點(diǎn)評(píng) 考查圓外切時(shí)圓心間距離和半徑的關(guān)系，雙曲線(xiàn)的定義，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線(xiàn)的斜率，注意尋找λ=2，m=-1的過(guò)程．